Una funció racional és una equació que pren la forma y = N (x) / D (x) on N i D són polinomis. Intentar esbossar un gràfic precís d'un a mà pot ser una revisió exhaustiva de molts dels temes més importants de matemàtiques de l'escola secundària, des de l'àlgebra bàsica fins al càlcul diferencial. Penseu en el següent exemple: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).
Passos
Pas 1. Cerqueu la intercepció i
Simplement poseu x = 0. Tot menys els termes constants desapareixen, deixant y = 5/2. Expressant això com un parell de coordenades, (0, 5/2) és un punt del gràfic. Gràfic d’aquest punt.
Pas 2. Cerqueu l'asímptota horitzontal
Divideix llargament el denominador en el numerador per determinar el comportament de y per a valors absoluts grans de x. En aquest exemple, la divisió mostra que y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). Per a valors positius o negatius grans de x, 17 / (8 x + 4) s'aproxima a zero i la gràfica s'aproxima a la línia y = (1/2) x - (7/4). Gràcies a aquesta línia, utilitzeu una línia discontínua o dibuixada lleugerament.
- Si el grau del numerador és inferior al grau del denominador, no hi ha divisió a fer i l'asímptota és y = 0.
- Si deg (N) = deg (D), l'asímptota és una línia horitzontal a la proporció dels coeficients principals.
- Si deg (N) = deg (D) + 1, l'asímptota és una línia el pendent de la qual és la proporció dels coeficients principals.
- Si deg (N)> deg (D) + 1, llavors per a valors grans de | x |, y passa ràpidament a l'infinit positiu o negatiu com a polinomi quadràtic, cúbic o de grau superior. En aquest cas, probablement no val la pena fer gràfics amb precisió el quocient de la divisió.
Pas 3. Cerqueu els zeros
Una funció racional té un zero quan el seu numerador és zero, de manera que fixeu N (x) = 0. A l'exemple, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. El discriminant d’aquest quadràtic és b 2 - 4 ac = 62 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Com que el discriminant és negatiu, N (x) i, en conseqüència, f (x) no té arrels reals. El gràfic mai no creua l’eix x. Si es van trobar zeros, afegiu aquests punts al gràfic.
Pas 4. Cerqueu les asímptotes verticals
Una asimptota vertical es produeix quan el denominador és zero. Si definiu 4 x + 2 = 0 es dóna la línia vertical x = -1/2. Dibuixeu gràficament cada asímptota vertical amb una línia clara o discontínua. Si algun valor de x fa que N (x) = 0 i D (x) = 0, hi pugui haver o no una asímptota vertical. Això és rar, però consulteu els consells sobre com tractar-ho si es produeix.
Pas 5. Mireu la resta de la divisió al pas 2
Quan és positiu, negatiu o zero? A l'exemple, el numerador de la resta és 17, que sempre és positiu. El denominador, 4 x + 2, és positiu a la dreta de l’asímptota vertical i negatiu a l’esquerra. Això significa que el gràfic s'aproxima a l'asímptota lineal de l'anterior per a valors positius grans de x i de baix per a valors negatius grans de x. Com que 17 / (8 x + 4) mai no pot ser zero, aquest gràfic mai no talla la línia y = (1/2) x - (7/4). No afegiu res al gràfic ara mateix, però tingueu en compte aquestes conclusions per a més endavant.
Pas 6. Cerqueu l'extrema local
Es pot produir un extrem local sempre que N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. A l'exemple, N '(x) = 4 x - 6 i D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5) * 4 = 0. Ampliant, combinant termes i dividint per 4 fulles x 2 + x - 4 = 0. La fórmula quadràtica mostra arrels properes a x = 3/2 i x = -5/2. (Aquests difereixen aproximadament 0,06 dels valors exactes, però el nostre gràfic no serà prou precís per preocupar-se per aquest nivell de detall. Triar una aproximació racional decent facilita el següent pas.)
Pas 7. Cerqueu els valors-y de cada extrem local
Torneu a connectar els valors x del pas anterior a la funció racional original per trobar els valors y corresponents. A l'exemple, f (3/2) = 1/16 i f (-5/2) = -65/16. Afegiu aquests punts, (3/2, 1/16) i (-5/2, -65/16), al gràfic. Com que vam fer aproximacions al pas anterior, aquests no són els mínims i màxims exactes, però probablement estan a prop. (Sabem que (3/2, 1/16) és molt proper al mínim local. A partir del pas 3, sabem que y sempre és positiva quan x> -1/2 i hem trobat un valor tan petit com 1/16, per tant, almenys en aquest cas, l’error probablement sigui inferior al gruix de la línia.)
Pas 8. Connecteu els punts i esteneu el gràfic sense problemes des dels punts coneguts fins a les asímptotes tenint cura d’acostar-vos-hi des de la direcció correcta
Tingueu cura de no creuar l'eix x excepte en els punts que ja es troben al pas 3. No creueu l'asímptota horitzontal o lineal excepte en els punts que ja es troben al pas 5. No canvieu de inclinació ascendent a inclinació descendent excepte a l'extrem trobat al pas anterior.
Vídeo: mitjançant aquest servei, es pot compartir informació amb YouTube
Consells
- Alguns d’aquests passos poden implicar la resolució d’un polinomi d’alt grau. Si no podeu trobar solucions exactes mitjançant la factorització, fórmules o altres mitjans, calculeu les solucions mitjançant tècniques numèriques com el mètode de Newton.
- Si seguiu els passos en ordre, normalment no és necessari utilitzar proves derivades de segon o mètodes similars potencialment complicats per determinar si els valors crítics són els màxims locals, els mínims locals o cap dels dos. Intenteu fer servir la informació dels passos anteriors i una mica de lògica.
- Si intenteu fer-ho només amb mètodes de precàlcul, podeu substituir els passos per trobar l'extrema local calculant diversos parells ordenats addicionals (x, y) entre cada parell d'asímptotes. Com a alternativa, si no us interessa per què funciona, no hi ha cap raó per la qual un estudiant precàlcul no pugui prendre la derivada d’un polinomi i resoldre N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
En casos rars, el numerador i el denominador poden tenir un factor no constant comú. Si seguiu els passos, es mostraria com a asimptota zero i vertical al mateix lloc. Això és impossible i el que passa realment és un dels següents:
- El zero del N (x) té una multiplicitat més gran que el zero del D (x). La gràfica de f (x) s'aproxima a zero en aquest punt, però no està definida aquí. Indiqueu-ho amb un cercle obert al voltant del punt.
- El zero a N (x) i el zero a D (x) tenen la mateixa multiplicitat. El gràfic s'aproxima a algun punt diferent de zero per a aquest valor de x, però no està definit aquí. Torneu a indicar-ho amb un cercle obert.
- El zero de N (x) té una multiplicitat inferior al zero de D (x). Aquí hi ha una asimptota vertical.
